Модель Васичека

Функция кривой доходности может быть получена из стохастических моделей процентных ставок, например из модели Васичека. В этой модели изменение краткосрочных процентных ставок задается уравнением:

dr(t) = λ (r(∞) − r(t))dt +σdz(t) ,

где z(t) - стандартное броуновское движение. При отсутствии случайного члена, то есть σ = 0 , решением является экспоненциальная функция:

r(t) = r(∞) − (r(∞) − r(0))e−tλ

Величины r(∞) и r(0) равны равновесной краткосрочной ставке и некоторой начальной краткосрочной ставке. Масштабирующий параметр λ характеризует скорость приближения текущего значения ставки к равновесному уровню.

Кривая доходности в стохастической модели Васичека задается формулой:

Кривая доходности Васичека может быть прямой линий, возрастающей или убывающей, однако данная функция не позволяет кривой доходности иметь S-форму, горб (среднесрочные ставки выше как краткосрочных, так и среднесрочных), или, наоборот, U-форму.

Кроме модели Васичека для получения функции кривой доходности могут быть использованы другие стохастические модели краткосрочных ставок, например модели Хала-Уайта, Кокса-Ингерсолла-Росса, Хо-Ли. Однако использование более сложных моделей, несмотря на свою теоретическую обоснованность, приводит к получению сложных многопараметрических функций кривой доходности, которые плохо приближаются к рыночным данным.